A objeção da desanalogia
Uma
crítica ao paralelo entre as duas crises
Todo o
edifício do ensaio A Segunda Crise dos Fundamentos (2026) repousa sobre um paralelo: o que traça entre a crise dos
fundamentos do início do século XX e a que hoje se anuncia. É justo, pois, que
o excurso mais importante seja o que enfrenta uma objeção dirigida precisamente
contra esse paralelo — e dirigida por quem tem autoridade para tanto. O
filósofo da matemática Jairo José da Silva, em texto público de setembro de
2026, contestou a analogia com que Terence Tao, e na sua esteira o ensaio citado,
aproxima o embate com a inteligência artificial da antiga crise.[1]
A crítica é séria, e a fidelidade ao método de provas e refutações que defendo
no Capítulo V obriga-me não a contorná-la, mas a expô-la em sua máxima força e
a responder-lhe com igual franqueza.
A objeção
O
argumento de Jairo pode reconstituir-se em quatro movimentos, todos exatos.
Primeiro, uma correção histórica: não se descobriu, no início do século,
"uma inconsistência nos axiomas que os matemáticos admitiam como
verdadeiros", como uma formulação apressada poderia sugerir; o que se
revelou inconsistente foi a teoria ingênua — isto é, não formal — dos
conjuntos de Cantor, que admitia poder-se formar um conjunto reunindo todos os
objetos que satisfazem uma propriedade.[2]
Segundo, a anatomia da contradição: se, além da compreensão irrestrita, se
admite que conjuntos são objetos coletáveis — que podem ser membros de
outros conjuntos —, brota o paradoxo de Russell. Jairo ilustra-o com elegância:
o conjunto dos escoteiros não é um escoteiro, mas o conjunto dos objetos
abstratos é, ele próprio, um objeto abstrato; considere-se, então, o conjunto C
de todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos, e pergunte-se se C
pertence a si mesmo — obtém-se que C pertence a si mesmo se, e somente se, não
pertence. A moral: não se pode admitir ao mesmo tempo que toda
propriedade gere um conjunto e que todo conjunto seja coletável.
Os dois
últimos movimentos são o cerne da crítica. Terceiro: o problema que essa
contradição criou, diz Jairo, nada tem a ver com os desafios da
inteligência artificial — pois é de solução fácil. Basta distinguir os
conjuntos coletáveis dos não coletáveis, que se passaram a chamar classes
próprias: o conjunto de Russell é uma classe própria, da qual não faz
sentido perguntar se pertence a si mesma, e a contradição evapora; ou,
alternativamente, restringem-se as propriedades geradoras de conjuntos. Tudo
isso foi feito, e nenhum paradoxo se viu mais. Quarto: além de solúvel, o
paradoxo estava circunscrito — não afetava seriamente a prática, pois os
matemáticos trabalham com conjuntos muito mais bem comportados, que jamais
geraram contradições. A inteligência artificial, ao contrário, "está aqui
para ficar" e afeta a matemática de modo incomparavelmente mais
consequente; não se deixa afastar como um paradoxo incômodo mas de fácil
remédio. A conclusão de Jairo é medida e certeira: Tao pode ter razão em que o
embate torne a matemática mais rica, mas será "bem mais complicado do que
lidar com paradoxos bizarros que podem facilmente ser postos fora de
ação".
O que se
concede
Comece-se
pelo que há de inteiramente correto na objeção — e não é pouco; é quase tudo,
no plano dos fatos. Concedo, sem a menor reserva, a correção histórica: em
nenhum momento este ensaio afirma que se descobriram axiomas inconsistentes. O
Capítulo I e os seus apêndices dizem exatamente o que Jairo diz — que a fonte
da contradição foi a compreensão irrestrita da teoria ingênua, e que a resposta
foi axiomatizar com cautela.[3]
Concedo, igualmente, a contenção técnica: a distinção entre conjuntos e classes
próprias, no sistema de von Neumann-Bernays-Gödel, e a restrição da compreensão
ao esquema de Separação, no sistema de Zermelo, dissolvem o paradoxo — e o
dissolvem, como sustento nos apêndices, não por remendo, mas tornando-o inexprimível.[4]
E concedo, por fim, o essencial: que a inteligência artificial é um fenômeno de
outra ordem de magnitude — permanente, pervasivo, "infinitamente mais
consequente", e insuscetível de ser posto fora de ação por um expediente
formal.
Ora, é
aqui que a concordância se torna reveladora. Pois essa última concessão — a de
que a transformação por vir é incomparavelmente mais funda do que o antigo
paradoxo — não é uma objeção ao meu argumento: é o meu argumento. O
livro inteiro sustenta que a segunda crise é de natureza distinta e mais grave
que a primeira. Jairo e eu não divergimos sobre isso; convergimos. O que resta
examinar não é se as duas crises diferem — nisso estamos de acordo —,
mas se o paralelo que as aproxima, longe de apagar a diferença, não existe
justamente para medi-la.
Que analogia?
A
objeção supõe que o paralelo afirme uma identidade de espécie: que as
duas crises sejam do mesmo tipo — duas inconsistências lógicas, uma já
resolvida, a outra à espera de solução semelhante. Se fosse essa a analogia, a
crítica de Jairo a desmontaria por inteiro, pois a segunda crise não é uma
inconsistência e não terá remédio formal. Mas não é essa a analogia. O paralelo
que traço não é de espécie, e sim de função: ambas são situações-limite
em que um poder novo — lá, a força da abstração irrestrita; aqui, a força da
máquina — obriga a matemática a interromper o seu curso e perguntar-se o que,
afinal, ela é. O próprio nome que dou ao fenômeno guarda a diferença que a
objeção teme ver apagada: chamo-o segunda crise, e não repetição da
primeira. E toda a arquitetura do livro assenta sobre a assimetria entre elas:
a primeira foi uma crise da validade — as demonstrações são seguras? —;
a segunda é uma crise do valor — entre as demonstrações seguras, o que
vale a pena?
Uma
crise da validade tem, com efeito, soluções técnicas — e Jairo tem toda a razão
em lembrar quão eficazes elas foram. Uma crise do valor não as tem, por uma
razão de princípio: nenhuma restrição de axiomas, nenhuma distinção entre
coletáveis e não coletáveis, faz um teorema tornar-se importante, ou uma
prova tornar-se compreendida. O valor não se decreta por expediente
formal. É por isso, precisamente, que a segunda crise exige as doze estações
deste livro, e não um parágrafo: porque não há, para ela, o análogo de uma
classe própria que a ponha fora de ação. A objeção de Jairo, nesse ponto, não
me contradiz — enuncia, com outras palavras, a tese que me levou a escrever.
O laço não é
analógico, mas causal
Há,
porém, um passo em que devo ir além da concordância, e é o mais importante do
excurso. Jairo afirma que o antigo paradoxo nada tem a ver com os
desafios da inteligência artificial. Sustento o contrário — e não por teimosia
na analogia, mas porque o vínculo entre as duas crises é mais forte do que
analógico: é causal. A primeira crise não é apenas semelhante à
segunda; é a sua ancestral. Vejamos como. A resposta à primeira crise
não consistiu apenas em conter o paradoxo; consistiu em tornar o rigor
matemático explícito e, com isso — decisivamente —, mecanizável.
Ao axiomatizar a teoria dos conjuntos, ao reduzir a demonstração a manipulação
de símbolos governada por regras que um núcleo minúsculo pode conferir, a
matemática adquiriu, pela primeira vez, uma imagem formal de si mesma que uma
máquina poderia aplicar.[5]
Ora, é exatamente essa validade mecanizada que a inteligência artificial agora
herda e industrializa. A máquina que hoje gera provas em profusão é a
beneficiária tardia da resolução da primeira crise: sem a redução do rigor a
regra formal, não haveria o que automatizar. Segue-se que a primeira crise e a
segunda não são episódios desconexos, um trivial e outro grave; são as duas
pontas de um mesmo arco. O que debelou o paradoxo de Russell — a mecanização da
validade — é a própria semente da abundância de provas que desencadeia a
segunda crise. Onde Jairo vê dois assuntos sem relação, vejo causa e efeito
separados por um século.
É esta a
razão profunda pela qual o paralelo não é ornamental. Não invoco a primeira
crise para dizer "já sobrevivemos a uma, sobreviveremos a esta" -
consolação que a próxima seção recusa -, mas para mostrar que a segunda crise nasce
do êxito da primeira. A matemática, ao tornar-se segura, tornou-se
automatizável; e ao tornar-se automatizável, expôs-se à questão do valor que a
segurança não responde. A objeção, ao separar as duas crises, perde de vista
justamente o fio que as liga — e que é, ele próprio, uma figura da continuidade
de sentido.
O resíduo
permanente
Resta
matizar dois predicados que a objeção atribui à primeira crise: o de ser
"de fácil solução" e o de estar "circunscrita". Ambos valem
para o paradoxo de Russell; nenhum vale para a crise dos fundamentos tomada em
toda a sua extensão. Pois a crise não foi só Russell. Foi também Gödel — e os
teoremas de incompletude não são um paradoxo que se ponha fora de ação, mas uma
limitação permanente: nenhum sistema formal consistente e bastante rico
demonstra a própria consistência, e há proposições que ele nem prova nem
refuta.[6]
Aqui não houve classe própria que resolvesse coisa alguma: houve a descoberta
de um limite com que a matemática convive desde então. A primeira crise deixou,
portanto, um resíduo que não se dissolve — e é esse resíduo permanente,
mais do que o paradoxo solúvel, que prefigura a segunda crise. E mesmo o
paradoxo de Russell, tão prontamente contido no plano da prática, foi um
divisor de águas no plano do sentido. Foi ele que arruinou o programa logicista
de Frege — como narra o apêndice respectivo —, que forçou a distinção explícita
entre conjunto e classe, que animou por décadas o debate entre logicismo,
formalismo e intuicionismo.[7]
"Circunscrito" para o matemático que calcula; sísmico para quem se
pergunta o que a matemática é. Ora, é justamente essa segunda pergunta — não a
do cálculo, mas a do sentido — que este livro persegue, e no plano dela a
primeira crise foi tudo menos anódina.
A consolação
recusada
Há na
objeção de Jairo, por fim, uma advertência que acolho inteira e que faço minha,
contra o mau uso da própria analogia que defendo. O perigo de invocar a
primeira crise é o de extrair dela uma consolação barata: já vencemos um abalo
dos fundamentos, venceremos este também. Essa inferência seria falsa e
perigosa, e Jairo tem razão em preveni-la. Falsa, porque a segunda crise não
tem, como vimos, o análogo de uma solução técnica; perigosa, porque a
expectativa de um remédio fácil é o convite mais seguro à passividade. Se a
primeira crise se resolveu apesar de nós — bastando o engenho de alguns
lógicos —, a segunda só se resolverá por nós, e mal, se a deixarmos ao
acaso.
É por
isso que o paralelo, no meu uso, não serve para tranquilizar, mas para medir.
A primeira crise é a régua contra a qual afiro a profundidade da segunda: se
aquela, uma crise apenas da validade, pôde reorganizar a filosofia da
matemática por meio século, quanto mais esta, que atinge o valor. A analogia é
uma escala, não um sedativo. E aqui subscrevo, palavra por palavra, a conclusão
de Jairo: o embate com a inteligência artificial será bem mais complicado
do que a neutralização de um paradoxo. Tão mais complicado que não se resolve
com uma distinção conceitual, mas apenas com aquilo que os doze capítulos
procuram nomear e cultivar — a compreensão, o juízo, a responsabilidade, a
continuidade de sentido. Que a resposta exija um livro, e não um teorema, é a
prova de que dou razão ao meu crítico.
Conclusão
A
objeção, honestamente enfrentada, não abala o argumento — refina-o. O paralelo
entre as duas crises não é uma equação falsa que iguale problemas desiguais; é
um contraste deliberado: mesma função (a autointerrogação forçada por um poder
novo), profundidade oposta (validade contra valor) e, mais fundo que a
semelhança, uma filiação causal — a resolução da primeira, ao mecanizar
o rigor, gerou as condições da segunda. Jairo separa o que a história uniu; o
meu propósito, ao contrário, é exibir o fio que liga o triunfo de ontem ao
dilema de hoje.
Devo, ao
encerrar, a Jairo José da Silva mais do que uma resposta: um agradecimento. A
sua crítica exemplifica aquilo que o Capítulo V chama de dialética que a prova
esconde e o Capítulo IX chama de responsabilidade — o trabalho comunitário de
objetar, corrigir e depurar, sem o qual nenhuma tese se torna sólida. Uma
comunidade que ainda produz objeções assim é uma comunidade em que a
continuidade de sentido está viva, e é dessa vida que o livro trata.[8]
Se este excurso melhorou o ensaio — e creio que sim —, o mérito é, em boa
parte, de quem o contestou. Era o que se podia esperar de uma discordância
entre pessoas que amam a mesma coisa: a matemática, e o sentido que ela guarda.
[1]SILVA, Jairo José da. [Sobre a analogia de Tao entre a
crise dos fundamentos e a inteligência artificial]. Ver: https://www.facebook.com/share/p/19QDNppEv4/, Facebook, 5 set. 2026. Jairo José da Silva é um dos mais rigorosos filósofos
da matemática de língua portuguesa, de orientação fenomenológica; ver, do
autor, Filosofias da Matemática. São Paulo: Editora Unesp, 2007, e Mathematics
and Its Applications: a transcendental-idealist perspective. Cham:
Springer, 2017.
[2]A distinção é precisa e o ensaio a subscreve: a
compreensão irrestrita de Cantor, e não um sistema axiomático, é a fonte da
contradição. Ver o Apêndice ao Capítulo I sobre o sistema ZFC, § 1.
[3]O Apêndice sobre a Lei Básica V de Frege mostra a mesma
estrutura no terreno logicista: é a Lei V, ao garantir a toda concepção um
objeto, que gera a contradição — a forma fregeana da compreensão irrestrita.
[4]As duas saídas que Jairo menciona são precisamente as
que os apêndices desenvolvem: as classes próprias de NBG e a compreensão
restrita de ZFC. Cf. o Apêndice sobre ZFC, §§ 1 e 6 do ensaio.
[5]É a tese do Capítulo I: a superação da primeira crise
legou uma concepção executável de prova. O critério de de Bruijn e a
arquitetura dos assistentes formais, discutidos no Capítulo III, são a herança
direta dessa mecanização.
[6]GÖDEL, Kurt. Über
formal unentscheidbare Sätze... Monatshefte für Mathematik und Physik,
v. 38, 1931. A independência da Hipótese
do Contínuo (Gödel, 1940; Cohen, 1963) é outra tal permanência: uma questão que
a nossa moldura deixa, para sempre, em aberto. Ver o Apêndice sobre ZFC, § 7.
[7]Sobre a queda do logicismo fregeano, ver o Apêndice
sobre a Lei Básica V. A "crise dos fundamentos" (Grundlagenkrise)
foi, no plano filosófico e programático, uma das mais fecundas controvérsias da
história da matemática, ainda que a prática corrente pouco a sentisse.
[8]Sobre a objeção crítica como forma da continuidade
de sentido — a tradição que se depura no atrito das refutações —, ver
CAMPOS, Afranio. Habitar o Tempo: A Continuidade de Sentido, (2025); e,
em A Segunda Crise dos Fundamento, Capítulo V. A tese de Tao aqui discutida está em TAO, Terence. Mathematics in the
age of AI. arXiv:2608.16753, 2026.